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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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1. Calcule las siguientes derivadas
c) f(x)=ekx,f(20)(x)f(x)=e^{k x}, \quad f^{(20)}(x)

Respuesta

Obviamente no vamos a hacer hasta la derivada 2020 jaja... la idea es calcular las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón. En este caso, usando regla de la cadena, nos queda:

f′(x)= kekx f'(x) =  ke^{kx}

f′′(x)= k2ekx f''(x) =  k^2e^{kx}

f′′′(x)= k3ekx f'''(x) =  k^3e^{kx}

Hay algo, no? Fijate que cada vez que tomamos una derivada adicional, simplemente multiplicamos el resultado anterior por k k . Eso hace que en la derivada primera tengamos simplemente kk, en la derivada segunda k2k^2, en la derivada tercera k3k^3... por lo tanto, en la derivada 2020 tendremos:

f(20)(x)=k20ekx f^{(20)}(x) = k^{20}e^{kx}
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